f ( x ) = { c ( 1 − x 2 ) , − 1 < x < 1 0 , elsewhere f(x)=\begin{cases}
c(1-x^2), \ \ -1<x<1
\\
0, \ \ \text{ elsewhere }
\end{cases} f ( x ) = { c ( 1 − x 2 ) , − 1 < x < 1 0 , elsewhere
(i) To find the value of c c c ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 \int \limits _{-\infin}^{\infin}f(x)dx=1 − ∞ ∫ ∞ f ( x ) d x = 1
∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ − 1 1 c ( 1 − x 2 ) d x = c ( x − x 3 3 ) ∣ x = − 1 x = 1 = 4 c 3 = 1 ⇒ c = 3 / 4 \int \limits _{-\infin}^{\infin}f(x)dx= \int \limits _{-1}^{1}c(1-x^2)dx =c(x-\frac{x^3}{3}) \bigg| _{x=-1}^{x=1}=
\frac{4c}{3}=1 \ \Rightarrow c=3/4 − ∞ ∫ ∞ f ( x ) d x = − 1 ∫ 1 c ( 1 − x 2 ) d x = c ( x − 3 x 3 ) ∣ ∣ x = − 1 x = 1 = 3 4 c = 1 ⇒ c = 3/4
Answer: c = 3 / 4 c=3/4 c = 3/4
(ii) F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=\int \limits _{-\infin}^{x}f(t)dt F ( x ) = − ∞ ∫ x f ( t ) d t
if x ≤ − 1 : x\leq -1: x ≤ − 1 : F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t = ∫ − ∞ x 0 d t = 0 F(x)= \int \limits _{-\infin}^{x}f(t)dt= \int \limits _{-\infin}^{x}0dt=0 F ( x ) = − ∞ ∫ x f ( t ) d t = − ∞ ∫ x 0 d t = 0
if − 1 < x < 1 : F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t = ∫ − 1 x 3 4 ( 1 − t 2 ) d t = 3 4 ( t − t 3 3 ) − 3 4 ( − 1 − ( − 1 ) 3 3 ) = -1<x<1: F(x)= \int \limits _{-\infin}^{x}f(t)dt= \int \limits _{-1}^{x}\frac{3}{4}(1-t^2)dt=\frac{3}{4}(t-\frac{t^3}{3})-\frac{3}{4}(-1-\frac{(-1)^3}{3})= − 1 < x < 1 : F ( x ) = − ∞ ∫ x f ( t ) d t = − 1 ∫ x 4 3 ( 1 − t 2 ) d t = 4 3 ( t − 3 t 3 ) − 4 3 ( − 1 − 3 ( − 1 ) 3 ) =
= 3 4 t − 1 4 t 3 + 1 2 = \frac{3}{4}t-\frac{1}{4}t^3+\frac{1}{2} = 4 3 t − 4 1 t 3 + 2 1
if x ≥ 1 : F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t = ∫ − 1 1 f ( t ) d t + ∫ 1 x f ( t ) d t = 1 + 0 = 1 x\geq 1: F(x)=\int \limits _{-\infin}^{x}f(t)dt= \int \limits _{-1}^{1}f(t)dt+ \int \limits _{1}^{x}f(t)dt=\ 1+0=1 x ≥ 1 : F ( x ) = − ∞ ∫ x f ( t ) d t = − 1 ∫ 1 f ( t ) d t + 1 ∫ x f ( t ) d t = 1 + 0 = 1
Answer: F ( x ) = { 0 , x ≤ − 1 3 4 t − 1 4 t 3 + 1 2 , − 1 < x < 1 1 , 1 ≤ x F(x)=\begin{cases}
0, \ \ x\leq -1
\\
\frac{3}{4}t-\frac{1}{4}t^3+\frac{1}{2} , \ \ -1<x<1
\\
1, \ \ 1\leq x
\end{cases} F ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 , x ≤ − 1 4 3 t − 4 1 t 3 + 2 1 , − 1 < x < 1 1 , 1 ≤ x
(iii) P ( X > 0.7 ) = 1 − P ( X ≤ 0.7 ) = 1 − F ( 0.7 ) = 1 − ( 3 4 × 0.7 − 1 4 × 0. 7 3 + 1 2 ) = P(X>0.7)=1-P(X\leq 0.7)=1-F(0.7)=1-(\frac{3}{4}\times 0.7-\frac{1}{4}\times 0.7^3+\frac{1}2)= P ( X > 0.7 ) = 1 − P ( X ≤ 0.7 ) = 1 − F ( 0.7 ) = 1 − ( 4 3 × 0.7 − 4 1 × 0. 7 3 + 2 1 ) =
= 0.06075 =0.06075 = 0.06075
Answer: P ( X > 0.7 ) = 0.06075 P(X>0.7)=0.06075 P ( X > 0.7 ) = 0.06075
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