Answer to Question #108785 in Calculus for Nimra

Question

∫csc(ax)dx

Answer 1

Answer: $\int csc(ax)\;dx=-\frac1a\ln\left|csc(ax)\;+\;cot(ax)\right|\;+\;C\\$

$\int csc(ax)\;dx=\frac1a\int a\cdot csc(ax)\;dx\;\\u=ax\Rightarrow du=adx\\Substitute\;u.\\ \frac1a\int a\cdot csc(ax)\;dx\;=\;\frac1a\int csc\;u\;du\;\\ \int csc\;u\;du\;=\;\;\int csc\;u\frac{csc\;u\;+\;cot\;u}{csc\;u\;+\;cot\;u}du=\\ =-\int-\frac{csc^2\;u\;+\;csc\;u\cdot cot\;u}{csc\;u\;+\;cot\;u}du\\ v\;=\;csc\;u\;+\;cot\;u\\ Let's\;take\;derivative\;of\;v.\;\\ dv=-(csc\;u\cdot cot\;u\;+\;csc^2u)\;du\\ Substitute\;v.\\ -\int-\frac{(csc^2\;u\;+\;csc\;u\cdot cot\;u)\;du}{csc\;u\;+\;cot\;u}=-\int\frac{dv}v=\\=-\ln\left|v\right|+C=\\ =-\ln\left|csc\;u\;+\;cot\;u\right|+C\;=\\=\;-\ln\left|csc(ax)\;+\;cot(ax)\right|+C\\ \int csc(ax)\;dx=-\frac1a\ln\left|csc(ax)\;+\;cot(ax)\right|\;+\;C\\$